权方和不等式
权方和不等式 是数学中一个重要的不等式，常用于分析和证明中，尤其在加权和分析与优化领域中。其通常形式如下：
权方和不等式的表述
设有一组非负实数 a_1, a_2, \dots, a_n 和另一组权重 w_1, w_2, \dots, w_n（权重非负，即 w_i \geq 0，且至少有一个 w_i > 0），那么以下不等式成立：
\begin{aligned}&\sum_{i=1}^n\frac{a_i^{m+1}}{b_i^m}\geq\frac{(\sum_{i=1}^na_i)^{m+1}}{(\sum_{i=1}^nb_i)^m},m<-1,m>0\\&\sum_{i=1}^n\frac{a_i^{m+1}}{b_i^m}\leq\frac{(\sum_{i=1}^na_i)^{m+1}}{(\sum_{i=1}^nb_i)^m},-1<m<0\end{aligned}
取等条件：
\frac{a_{1}}{b_{1}}=\frac{a_{2}}{b_{2}}=\ldots=\frac{a_{n}}{b_{n}}
高中阶段常使用的形式：
\boxed{a,b,x,y\in\begin{pmatrix}0,+\infty\end{pmatrix}, \text{则}\frac{\begin{pmatrix}a+b\end{pmatrix}^2}{x+y}\leqslant\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}}
解释
- 左边：加权的平方平均（权重乘以平方项）。
- 右边：加权平均值的平方。
- 不等式表明：加权平方平均值总是大于等于加权平均值的平方。
等号成立条件
当且仅当 a_1, a_2, \dots, a_n 中所有元素的比值与对应的权重 w_1, w_2, \dots, w_n 成正比时，等号成立。例如：
\frac{a_1}{w_1} = \frac{a_2}{w_2} = \cdots = \frac{a_n}{w_n}
几何意义
该不等式体现了数据的离散分布特性，权方和不等式是衡量数据分散性的重要工具。
应用场景
- 概率统计：描述随机变量的加权期望和方差关系。
- 数学分析：用于证明与加权均值相关的不等式。
- 优化问题：在求解最优值时常用。
例题
已知x^2+y^2=5,求3x+2y的最大值
解：
5 = x^2 + y^2
x^2 + y^2 = \frac{(3x)^2}{9} + \frac{(2y)^2}{4}
\frac{(3x)^2}{9} + \frac{(2y)^2}{4} \geqslant \frac{(3x+2y)^2}{13}
(3x+2y)^2 \leqslant 65
3x+2y \leqslant \sqrt{65}
